Nasceu na freguesia da Ribeira Brava, na Madeira, a 3 de Abril de 1917, filho de João da Silva Fineza Ludovina de Jesus Fineza.
Operário tipógrafo, aderiu ao PCP e integrou o respetivo Comité Regional.
Deslocado para o Continente, integrou o seu sector profissional e a Organização da Cidade de Lisboa, mas continuou em contacto com a estrutura partidária da Madeira, designadamente em tarefas relacionadas com o envio de imprensa clandestina.
Foi preso pela PVDE com outros membros do PCP na Madeira em 30 de agosto de 1948, "para averiguações", tendo recolhido à Cadeia do Aljube e colocado à disposição do Tribunal Plenário de Lisboa. Em 6 de novembro desse ano, foi transferido para o Depósito de Presos de Caxias. Entretanto, a 12 de julho de 1949, foi condenado em 3 anos de prisão maior celular ou, em alternaiva na pena de 4,5 anos de degredo. Recorreu da sentença para o Supremo Tribunal de Justiça que, um ano depois, reduziu a pena para 2 anos e aplica-lhe...a medida de segurança de 1 ano de internamento - penas que cumpriu, tendo sido transferido para a Cadeia do Aljube em 15 de setembro de 1951, baixando à enfermaria no dia 21. Até sair em liberdade condicional em 4 de março de 1952, sucedem-se sucessivas baixas à enfermaria e nova transferência para Caxias. Só em 12 de janeiro de 1957 é que será concedida a liberdade definitiva a Agostinho Fineza.
Em 1958, dá-se mais uma prisão, quando participava nas comemorações do 5 de Outubro.
Em 27 de junho de 1959 é de novo preso "por actividades subversivas" (acusado de imprimir e divulgar «imprensa subversiva» e de participar em actividades contra o governo), internado do Aljube e, dois dias depois, baixa à enfermaria (por um mês), seguindo diretamente para Caxias, onde será punido por duas vezes por desobedecer às "disposições regulamentares". Sairá em liberdade em fevereiro de 1960.
Será vítima mortal da repressão no decurso das manifestações do 1.º de maio de 1963, assassinado com 46 anos de idade.